Experiência 4 - Séries

Séries
Arquivo do GeoGebra
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Objetivo
Reproduzir a série harmônica e série de Fourrier.

Conteúdo Programático
Séries, gráficos de funções, funções periódicas.

Subsídios teóricos
Série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de todos os múltiplos inteiros dessa frequência.

 

Dadas as frequências iniciais das notas lá e da nota dó, chamadas de fundamentais, temos a seguinte tabela dos múltiplos das frequências iniciais. Nota-se que se mantêm as proporções, as frequências diferem das notas das escalas temperadas. Observa-se claramente ao compararmos o lá5 da 16ª interação em que a nota fundamental foi o lá com o mesmo lá5 da 13ª interação, quando a nota fundamental foi o dó2.

 

Lá1

Do2

Nota

Frequência(Hz)

Nota

Frequência(Hz)

1(F)

Lá1

110

Do2

131

2

Lá2

220

Do3

262

3

Mi3

330

Sol3

393

4

Lá3

440

Do4

524

5

Do#4

550

Mi4

655

6

Mi4

660

Sol4

786

7

Sol4

770

Sib4

917

8

Lá4

880

Do5

1048

9

Si4

990

Ré5

1179

10

Do#5

1100

Mi5

1310

11

Ré#5

1210

Fa#5

1441

12

Mi5

1320

Sol5

1572

13

Fá#5

1430

Lá5

1703

14

Sol5

1540

Sib5

1834

15

Sol#5

1650

Si5

1965

16

Lá5

1760

Do6

2096

Tabela x: Cálculo dos harmônicos

Série de Fourier
Como o objetivo aqui é o Ensino Básico da matemática, o aprofundamento ao estudo de séries de Fourier, não cabe neste contexto. Adota-se, portanto, a postura do estudante conhecer as possibilidades, utilizações e entender uma utilidade prática, de maneira lúdica.

Objetivo
Dados dois instrumentos musicais quaisquer, afiná-los de forma que independente do timbre, emitam a mesma nota. 

Conteúdo programático
Funções periódicas, séries, sequências.

Metodologia
Aula expositiva experimental com a participação dos estudantes.

Subsídios Teóricos
Uma série de Fourier, nomeada em honra de Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), é a representação de uma função periódica (muitas vezes, nos casos mais simples, tidas como tendo período 2π) como uma soma de funções periódicas da forma
que são harmônicas de ei x.”

Qualquer função f(x) pode, segundo Fourier, ser escrita na forma da soma de uma série de funções seno e cosseno.

Funções Periódicas
Uma função f é dita periódica se existe um número real positivo P, chamado período de f, tal que f(x) =f(x+P) para todo x no domínio de f. O gráfico de uma função periódica é obtido pela repetição de qualquer intervalo de comprimento P necessário para a imagem da função se repetir.

Figura xx: primeiras parcelas da série de fourrier para ondas quadradas

A Transformada de Fourier decompõe um sinal em suas componentes elementares seno e cosseno. A análise de um som musical é determinar quais as notas musicais (frequências) que estão sendo executadas em um  certo trecho.

Material
Mínimo: um instrumento musical.
Outras variações: instrumentos musicais diversos, instrumentos com possibilidade de alterar a afinação, diapasão, afinador.

Procedimento

Experimento no GeoGebra
Para uma explicação mais visual do funcionamento de uma série de Fourier, foi retirado e adaptado do banco de dados do sítio do GeoGebra, o arquivo intitulado Experimento04_Fourier. Nele é possível partir-se de uma onda senoidal perfeita, no caso de haver apenas uma interação, insere-se parcelas na série até se obter uma onda próxima à quadrada de acordo com o número de parcelas que são somadas a série.

 

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